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【大学受験物理<力学>】速度に比例する力を受ける運動


速度に比例する運動は、大学受験においては「空気抵抗」を受けながらの運動として問われることがよくあります。関連する問題も合わせて見てみましょう。

準備

・運動方程式が書けるかどうか
$$m a = – k v$$
速度を\(v\)とおき、比例定数を\(k\)とおくと、速度に比例する力の大きさは\(kv\)とかくことができる。今回は抵抗力であるから、符号を負とすれば上のような式になる。

過去問

1.岐阜大

(1) 物体が速さ\(v\)でおりているときの、物体の加速度の大きさ\(a\)を求めよ。
(2) しばらくして、等速度運動になった場合の物体の速さを求めよ。

解答

1.岐阜大

(1) 斜面を下る方向を正の向きとして運動方程式を立てると、
$$ma = mg\sin{\theta} – kv$$
となる。

速度は斜面下向きに向いているため、抵抗力はその逆向き(斜面上向き)であることを示すために-kvという負の値になることに注意してください

よって、
$$a = g\sin{\theta} – \frac{kv}{m}$$
となる。

(2) 等速直線運動となったら、加速度は0なので、(1)の答えを用いて\(a=0\)とおくと、
$$v = -\frac{mg\sin{\theta}}{k}$$
と求められる。

高校生の段階では一応「等速直線運動になる」ことを証明させる問題は出ないことになっているので、必ず上記問題のように「等速直線運動になった」という前提が与えられます。そこから加速度がもうないのだ、という風に頭を切り替えてください。

発展

1.岐阜大

(2)
$$ma = mg\sin{\theta} – kv$$
を、\(a = \frac{dv}{dt}\)とおき、右辺は定数(\(-k\))でくくると、
$$m \frac{dv}{dt} = -k \left(v – \frac{mg\sin{\theta}}{k}\right)$$
となる。ここで\(V = v – \frac{mg\sin{\theta}}{k}\)の置換をすると、両辺を\(t\)で微分すれば、
$$\frac{dV}{dt} = \frac{dv}{dt}$$
というように加速度が一致するから、運動方程式は、
$$m \frac{dV}{dt} = -k V$$
と変形できる。両辺を\(m\)で割り、
$$\frac{dV}{dt} = – \frac{k}{m} V$$
とすると、これはある関数\(V\)を微分したら、自分自身がまた出て来て、それに定数(\(- \frac{k}{m}\))が掛かるような状況を示している。これは指数関数が持つ性質であるから、
$$V(t) = C e^{- \frac{k}{m}t}$$
と置くことができる(\(C\)は定数)。
\(t = 0\)においては\(V(0) = v(0) – \frac{mg\sin{\theta}}{k} = – \frac{mg\sin{\theta}}{k}\)であったから、上の式より\(C = – \frac{mg\sin{\theta}}{k}\)と求められる。これにより、
$$V(t) = – \frac{mg\sin{\theta}}{k} e^{- \frac{k}{m}t}$$
と決定する。\(V(t) = v(t) – \frac{mg\sin{\theta}}{k}\)であったので、\(v(t)\)に戻してあげると、
$$v(t) – \frac{mg\sin{\theta}}{k} = – \frac{mg\sin{\theta}}{k} e^{- \frac{k}{m}t}$$
となるから、
$$v(t) = \frac{mg\sin{\theta}}{k} \left(1 – e^{- \frac{k}{m}t}\right)$$
これは確かに\(t \to \infty\)とすると、終端速度\(v(t) = \frac{mg\sin{\theta}}{k}\)となることを示していることがわかる。

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