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【九州大学】編入物理学解答(平成28年度)



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力学Ⅰ-2

慣性モーメントの基本的な計算

(1)質量が非対称だから積分する。
\[M = \int_{0}^{L} \rho dy= \frac{\rho_{0}}{L} \int_{0}^{L} ydy =\frac{\rho_{0}L}{2}\]
(2)重心の定義より,
\[y_{G} = \int_{棒} \frac{ydm}{M} = \int_{0}^{L} \frac{\rho y dy}{M} = \frac{2}{3}L\]
(3)\(z\)軸まわりの慣性モーメント\(I’\)は,
\[I’ = \int_{0}^{L} \rho y^{2} dy = \frac{ML^{2}}{2}\]
平行軸の定理より,
\[I’ = I + M k^{2}\]
である。ただし\(k=\frac{2}{3}L\)は重心と原点との間の距離である。よって,
\[I = I’ – Mk^{2} = \frac{ML^{2}}{18}\]
となる。

撃力による運動量変化・角運動量変化の問題

(4)運動量と力積の関係より,
\[Mv_{G} =J\]
であるから\(v_{G} = \frac{J}{M}\)
(5)角運動量とトルクの関係より,
\[I \omega = uJ\]
であるから\(\omega = \frac{uJ}{I}\)
(6)重心から\(y\)軸負方向に\(h\)だけ離れた離れた点では,撃力を受けた直後に\(x\)軸負方向に\(\omega h\)の速度をもち,かつ重心運動による並進運動も加わるから,
\[v_{h} = v_{G} – \omega h = \frac{J}{M} – \frac{uJh}{I}\]
これが0になるとして解けば,
\[h = \frac{I}{uM} = \frac{L^{2}}{18u}\]

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