【大学受験:熱力学】1.内部エネルギー変化はどうしてnCvΔTとかける?

熱力学ワンポイントクイズ!その1です。みなさん、あまりに自然に、

$$ \Delta U = n C_{V} \Delta T $$

を使っていませんか?しかしこれは常に成り立つ式ではございません。理想気体であるときには成り立つ関係式です。

では、どうして理想気体であればこの関係式が成り立つのでしょうか?問題を解くだけでは実用上これさえ押さえておけば何とかなることも多いですが、時には振り返ってみましょう。

解説図1

上図のようにして、P-V図上で始めの状態\(S_{0}\)を定め、そこでの温度を\(T_{0}\)とします。そして、その温度よりも少し高温の\(T_{0} + \Delta T\)の等温線を引き、そこでの異なる三状態を\(S_{1}, S_{2}, S_{3}\)とします。

ここで熱力学の法則の中で非常に重要なものがあります。それは、「理想気体の内部エネルギー\( U\)は温度のみの関数であり、\( U=U(T)\)と書くことができる。」ということです。これが今回の核になっています。

これはすなわち、温度さえ保てば、他のどんな物理量を変化させても内部エネルギーは一定ということです。非常に強力です。このことから、

解説図2

上図のようにして内部エネルギー変化を\( \Delta U_{01}, \Delta U_{02}, \Delta U_{03} \)とおくと、

$$
\begin{align}
\Delta U_{01} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{02} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{03} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0})
\end{align}
$$

となる。したがって、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} \tag{1}
$$
とかけることになる。

さて、初めには言及していませんでしたが、\(S_{0}\)から\(S_{1}\)への状態変化を「定積変化」としましょう。定積変化においての熱力学第一法則は、

$$
\Delta U_{01} = Q – W
$$
において、\(W=0\)であり、定積モル比熱\(C_{V}\)を使えば\(Q = n C_{V} \Delta T\)と書くことができますから、

$$
\Delta U_{01} = n C_{V} \Delta T \tag{2}
$$
となる。ここで、式(1), (2)から、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} = n C_{V} \Delta T
$$
とかけたことになる。したがって、\(\Delta T\)だけ上がるどのような状態変化に対しても、内部エネルギーの変化は、

$$
\Delta U = n C_{v} \Delta T
$$
とかけたことになる。証明終了です。

まとめると、

全体の流れ

このようになっています。いかがでしたか?

皆さんの理解の一助となれば幸いです。

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