2019年5月27日 三角形の成立条件

こんにちは。今回は生徒の定期考査対策で、三角形の成立条件に関して深く学習していきました。

△ABCに対して、三角形の成立条件とは、

$$|b-c| < a < |b+c|$$

が成り立つことです。今回の問題は、

$$x>1と仮定する。\\x^{2}-1, x^{2}+x+1, 2x+1を辺とする三角形を作るとき、\\最大角を求めよ。$$

です。解いてみたい人はこの先が解説になっているので読む前に解いてみましょう。

そもそも三角形が成立するか

これは上に書いた成立条件の式を使います。辺の長さとしてa, b, cは自由にとってよいので、たとえば、

$$|(x^{2}+x+1)-(2x+1)| < x^{2}-1 < (x^{2}+x+1)+(2x+1)$$
$$|x^{2}-x| < x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

ここで不等号が二連続でつながっているものは「かつ」で結んだ条件と同値なので
$$|x^{2}-x| < x^{2}-1 かつx^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

と変形することができます。

$$-(x^{2}-1) < x^{2}-x < x^{2}-1 かつ x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

$$-(x^{2}-1) < x^{2}-xかつx^{2}-x < x^{2}-1 かつ x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

この不等式を「かつ」で結んだものを解いてあげると、

$$x>1$$

を得る。いま、x>1は前提条件であったから、すでに三角形が成立する条件は満たされていることになる。

最大角はどこか?

ここでは、「最大辺に対応する対角が最大角となる」ことを利用します。

ここでどの辺が最大になるかは全くわかりません。もしかしたらxの値により最大辺が変わるかもしれませんし、どんなxの値でも何かが最大辺となるかもしれません。

ひとつ目安として、

$$x^{2}のほうがxよりも大きくなっていきやすい$$

という点に着目すると、

$$x^{2}+x+1とx^{2}-1は、2x+1に比べて大きそう$$

という予想を立てるのは良いことだと思います。では二乗同士の優劣ですが、差をとってみると、

$$(x^{2}+x+1) – (x^{2}-1) = x+2>0 (x>1のため)$$

となります。さらに、

$$
\begin{align*}
(x^{2}+x+1) – (2x+1) &= x^{2}-x\\
&= x(x-1)>0(x>1のため)
\end{align*}
$$
となるので、最大辺は、

$$x^{2}+x+1$$

であることがわかりました。こうして、最大角はこの辺の対角となります。

最大角を求める

上で求めた最大角について余弦定理を適用します。下の図のようにして△ABCを設定してあげます。

△ABCの設定

ここに余弦定理を適用すると、

$$
\begin{align*}
\cos{C} &= \frac{a^{2} + b^{2} – c^{2}}{2ab}\\
&= \frac{(2x+1)^{2} + (x^{2}-1)^{2} – (x^{2}+x+1)^{2}}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= \frac{-2x^{3}-x^{2}+2x+1}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= \frac{-(x+1)(x-1)(2x+1)}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= -\frac{1}{2}
\end{align*}
$$
となります。よって、求める最大角は120度となるわけです。

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