仙台物理実験塾 PeX

Experiment × Physics

カテゴリー: 電磁気学

自己インダクタンスとは


準備

1. 円電流中心の磁場

円形コイル(半径\(a\))に電流\(I\)[A]が流れているとき、その中心における磁束密度の大きさは、
\[B = \frac{\mu_{0}I}{2a}\]
であった。ただし\(\mu_{0}\)とは真空の透磁率である。これは高校物理では導出せず使って良い。

2. 磁束

ある面の面積を\(S\)とおき、そこに磁束密度\(B\)の磁場が一様に垂直に存在するなら、このコイルを貫く磁束\(\Phi\)は、
\[\Phi = BS \]
と計算できる。仮に磁場が面に対して垂直に貫いていない場合は、面に対して垂直な磁場の成分を取り出して上に適用するのであった。

自己インダクタンスの定義

コイルに電流\(I\)を流すと磁場\(B\)を作る。この磁場はコイルの面\(S\)を貫いており、特にコイルの中心においては
\[B = \frac{\mu_{0} I}{2a}\]
と書けることは上で触れた。しかし、コイルの中心以外では上のようにはかけない。したがって、このコイルを貫く磁束を計算するのは少々手間がかかる。しかし、何れにしても、「電流\(I\)が大きくなればそれに比例して磁束も増えていく」ということは容易に想像がつくと思う。したがって、
\[\Phi = L I\]
というように磁束は電流に比例した形で書ける。この比例定数\(L\)[H](ヘンリー)を自己インダクタンスという。磁束の単位は[Wb](ウェーバー)で、電流の単位は[A](アンペア)であるから、自己インダクタンスの単位は[Wb/A]であるが、これを[H](ヘンリー)と呼ぶことにしている。

自己インダクタンスの意味

解釈1

定義式から明らかであるが、自己インダクタンス\(L\)が大きければ、それだけ同じ電流\(I\)に対しても貫く磁束\(\Phi\)が大きくなるわけだから、磁場を作るある種「性能」のようなものとも考えられる。自己インダクタンスが大きければそれだけ大きな磁束を作ることができるというわけだ。

解釈2

inductance(インダクタンス)という言葉はinduceからきている。Longman Dictionaryによれば、induceの3つ目の意味として”to cause a particular physical condition”とある。要するに「何らかの(身体的)状態を引き起こす」という意味である。ではコイルが何を「引き起こす」というのか。コイルに流す電流\(I\)を変化させると、ファラディの電磁誘導の法則によって(別ページで解説予定)、「コイル自身が起電力になるように引き起こされてしまう」のである。この「自分自身」というところから「自己」という日本語を用い、「(電流変化によって)引き起こされてしまう」ということからinduceをとって「インダクタンス」と言っているのであろう。

実際、コイルによる誘導起電力の大きさは\(L\frac{dI}{dt}\)であるから、\(L\)が大きければそれだけ起電力の強さが増すことになる。つまり、「自分自身で(起電力としての性質を)引き起こす力」が強いと言える。

コイルのエネルギーの証明


コイルのエネルギーとは

学校で、自己インダクタンス\(L\)[H]のコイルに対して電流\(I\)[A]が流れているとき、そのコイルが持つエネルギー\(U\)は、
\[ U = \frac{1}{2} L I^{2}\]
と習う。これはなぜであろうか。

コイルのエネルギーを証明するための準備

1. キルヒホッフの第二法則

回路内の一つのループに対して、
$$\Sigma起電力 = \Sigma電圧降下$$
となるのがキルヒホッフの第二法則である。

2. エネルギー保存則

この世の物理法則の一つの大きな柱として、エネルギーは絶対になくならないし、無から生まれたりはしないという法則がある。これは実験として否定もされていない、物理を支える非常に重要な法則である。

3. オームの法則

電流\(I\)[A]が抵抗値\(R\)をもつ抵抗に流れたとき、「電流が流れた向きに」\(RI\)[Volt]だけ電圧が下がる。これをオームの法則という。

4. コイルの自己誘導

コイルに流れている電流$I$が時間変化したとき、「電流が流れた向き」を正方向としたら、
\[ V_{emf} = – L \frac{dI}{dt}\]
の誘導起電力を持つ。すなわち、電流の変化を妨げるような方向に起電力が発生する。ここで\(L\)とはコイルの自己インダクタンスと呼ばれる物理量(単位[H]ヘンリー)である。

5. 電池のする仕事率

電池は電荷をより高い電位のところに持ち上げる働きがある。[Volt]=[J/C]という単位であるから、電流\(I\)[A=C/s]が流れているときは、\(IV\)[J/s]の仕事率があると計算できる。(仕事の単位は[J]であり、それを単位時間あたりにしたものが仕事率[J/s]であった)

コイルのエネルギーの証明

1. 抵抗・コイル・電池の回路を考える

起電力\(V\)[Volt]、抵抗値\(R\)[Ohm]の抵抗、自己インダクタンス\(L\)[H]が直列で繋がれていることを考える。

2. キルヒホッフの第二法則を立てる

キルヒホッフの第二法則を回路に対して適用する。電流が回路全体に\(I\)[A]流れているとすると、
\[V – L \frac{dI}{dt} = RI\]
となる。両辺に\(I\)をかけると、
\begin{align*}
IV – LI \frac{dI}{dt} &= RI^{2} \\
IV – \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} LI^{2}) &= RI^{2} \\
IV &= RI^{2} + \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} LI^{2})
\end{align*}
となる。左辺は「電池がする仕事率」であった。エネルギーはなくならないから、電荷に対してなされた仕事はどこかに使われるなどするはずである。実際、右辺第二項の\(RI^{2}\)は「抵抗における消費電力」にあたる。そして右辺第一項の時間微分内の\(\frac{1}{2} LI^{2}\)こそがコイルに関するエネルギーには違いない!たとえば、
\[ 100 = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} LI^{2}) + 10\]
という内訳になっていたとすれば、\(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2} LI^{2})\)は「コイルのエネルギーの時間変化」を表すわけだから、それが90[J]だけ単位時間あたりに増えるということを意味する。こうして、電池がした仕事の100[J]は抵抗で消費されなかった分がコイルに移動しているということがわかるわけだから、やはり「エネルギー」を蓄えていると考えられるであろう。エネルギーはなくならないはずだからである。

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