仙台物理実験塾 PeX

Experiment × Physics

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おはようございます

本日は塾生のみのお仕事でした。

今日も昨日に引き続きよろしくない天気ですね。とはいえ洗濯物は干しましたが…。

本日は少し数学を勉強しながら物理の仕事の準備、情報発信のためのライティングなどを行いたいと思います。

当たり前ですが、教師も教えるために日々学ぶのです。そういうことをしていない教師は、厳しいのかもしれませんが、僕は教師だとは思いません。日々学んでいる人、新しい知識を取り入れている人から学びたいに決まっていますよね。私も、日々更新されていく情報をお伝えしたいですし。

それではもうお昼ですが本日も頑張ってまいりましょう。

久しぶりの曇り

おはようございます。久しぶりに曇りの天気を見た気がします。最近仙台はかなり暑かったですね。

本日私は英語の勉強、授業の予習、英会話、塾生への講義、とあるところで仕事…というもう盛り沢山の日でございます。

睡眠はしっかりとったので今日も一日頑張りましょう。眠くなったらレッドブルとかが必要かもしれない…(でも身体によくないので最近は避けてました汗)

自己インダクタンスとは


準備

1. 円電流中心の磁場

円形コイル(半径\(a\))に電流\(I\)[A]が流れているとき、その中心における磁束密度の大きさは、
\[B = \frac{\mu_{0}I}{2a}\]
であった。ただし\(\mu_{0}\)とは真空の透磁率である。これは高校物理では導出せず使って良い。

2. 磁束

ある面の面積を\(S\)とおき、そこに磁束密度\(B\)の磁場が一様に垂直に存在するなら、このコイルを貫く磁束\(\Phi\)は、
\[\Phi = BS \]
と計算できる。仮に磁場が面に対して垂直に貫いていない場合は、面に対して垂直な磁場の成分を取り出して上に適用するのであった。

自己インダクタンスの定義

コイルに電流\(I\)を流すと磁場\(B\)を作る。この磁場はコイルの面\(S\)を貫いており、特にコイルの中心においては
\[B = \frac{\mu_{0} I}{2a}\]
と書けることは上で触れた。しかし、コイルの中心以外では上のようにはかけない。したがって、このコイルを貫く磁束を計算するのは少々手間がかかる。しかし、何れにしても、「電流\(I\)が大きくなればそれに比例して磁束も増えていく」ということは容易に想像がつくと思う。したがって、
\[\Phi = L I\]
というように磁束は電流に比例した形で書ける。この比例定数\(L\)[H](ヘンリー)を自己インダクタンスという。磁束の単位は[Wb](ウェーバー)で、電流の単位は[A](アンペア)であるから、自己インダクタンスの単位は[Wb/A]であるが、これを[H](ヘンリー)と呼ぶことにしている。

自己インダクタンスの意味

解釈1

定義式から明らかであるが、自己インダクタンス\(L\)が大きければ、それだけ同じ電流\(I\)に対しても貫く磁束\(\Phi\)が大きくなるわけだから、磁場を作るある種「性能」のようなものとも考えられる。自己インダクタンスが大きければそれだけ大きな磁束を作ることができるというわけだ。

解釈2

inductance(インダクタンス)という言葉はinduceからきている。Longman Dictionaryによれば、induceの3つ目の意味として”to cause a particular physical condition”とある。要するに「何らかの(身体的)状態を引き起こす」という意味である。ではコイルが何を「引き起こす」というのか。コイルに流す電流\(I\)を変化させると、ファラディの電磁誘導の法則によって(別ページで解説予定)、「コイル自身が起電力になるように引き起こされてしまう」のである。この「自分自身」というところから「自己」という日本語を用い、「(電流変化によって)引き起こされてしまう」ということからinduceをとって「インダクタンス」と言っているのであろう。

実際、コイルによる誘導起電力の大きさは\(L\frac{dI}{dt}\)であるから、\(L\)が大きければそれだけ起電力の強さが増すことになる。つまり、「自分自身で(起電力としての性質を)引き起こす力」が強いと言える。

理科が危ない

江沢洋先生の『理科が危ない』という本が目に留まった。まだ購入していないが、教育者側にいる身としては大方内容の予想がつく。

理科、特に物理は学ぶのに時間がかかる。大学ではもっと時間がかかるが、それは高校でも顕著だ。化学であれば、有機化学・無機化学・理論化学が分かれており、学問的にはどれも大学に行けばある程度分野が分野をまたがるような現象は起こるであろうが、高校ではもはや「別科目」に近い認識が強いと思う。それに対して物理学はどうだろう。物理学は、力学が大きな基礎をなし、それは電磁気学においても運動方程式を立てたりするところに大きく影響するし、もちろん波動学においても粒子の運動を基本的に扱うから力学が基礎になっている。

こうして、物理学は序盤に学んだことが顕著に後半に響く科目であり、さらに単純な計算だけでは終わらない。たとえば答えを出した時点で「物理的にどんなことを意味するか」という吟味をするのが普通で、実際に大学入試でもそういう記述問題は出る。これは、物理学という学問が自然を扱う学問であり、現実に即していることに依拠している。

この物理的吟味を行うには知識が必要であるのと、経験値もかなり必要だ。先生から直接の指導を受けられればいいのだろうが、そういう時間がある教師も少ないであろう(最近は部活動などに先生方は時間を取られてしまう)し、もはやそこまで物理学を学んできていない先生には「物理学としての物理学の指導」ができない人もいると思う。

拍車をかけるように、学校では実験も軽視され、ただの机上の勉強、受験勉強、点数を取ることにばかり目がいく。わかりやすい、簡単、面白いものに目がいく。それでいいのだろうか。

もちろん、面白いということは重要である。かの有名な物理学者アインシュタインは磁力の不思議(離れていても働く不思議な力)に魅了されたという。そういう子供時代の経験がのちのアインシュタインに影響を与えたのは間違いがない。私が述べたいのは、「面白さ」のベクトルが違う。

見て「笑える」funnyなのか、「知的に魅力な」というinterestingである。日本語では面白いという言葉で両方表現ができてしまうが、interestingというのは知的な意味が含まれる。私が言いたいのはそういう面白さである。

江沢洋先生が嘆かれるようなこの日本の科学教育、大丈夫なのだろうか。

物理の勉強の仕方


物理学とはどんな学問か

物理は自然現象を数学を用いて解き明かす学問です。近代的な物理は数学を当然のように扱う学問となりました。客観的に誰が見ても正しいというためには、客観的な「値」こそが正しさの指標になります。ここに数学が伴ってしまうのは必然でしょう。数を扱うのですから。こうして、自然現象を数学的に記述して説明をしようとするのが物理学という学問なります。

物理学に必要な力

1. 直感

直感とはたとえば、単振動の振動中心では速度が最大になり、端では0になる。などと、物理的現象についてのイメージをある程度もつことです。物理的直感を日頃から付けていかないと、「自然現象ありえない結果」が出てきたときに「ありえない」と判断することが難しくなります。

2. 数学知識

物理学(最早science全体)は数学を道具として用い自然現象を解き明かす学問です。なので、難しい数学の扱いにも慣れて計算できるようにする訓練が別に必要です。たとえば、磁束の計算で一般的には\(BS\)(正確には\(BS\cos{\theta}\))という風に習います。しかし実際に磁束を正確に計算するには、「ある閉曲面を無限小の面積素片に分割し、そこに立てられる法線ベクトルと磁束密度の内積を積分する」という操作が厳密には必要です。とは言っても、初めて学ぶ人にそう教えたところでポカンとしてしまうでしょう。ですから、初めはある程度単純化した状態で理解してもらい、「螺旋的に」ふたたび戻ってきて学び直す。そういう、言ってしまえば「メンドウ」な作業が物理学では必須です。

3. 計算力

私のかつての恩師山本義隆先生は、学生時代に江沢洋先生の東大での量子力学演習の講義に出席しておられ、そこで多くのことを学ばれたと複数の著書で触れています。最近出版された『量子力学的世界像』(日本評論社, 江沢洋・上條隆志 編)においてこう述べています。

(以下引用)『量子力学的世界像』(p283より)

    「…与えられた問題をとおり一遍のやり方で解いて満足するのではなく、自分で話を広げ、自分で問題をさらに設定するように、促されていたように思う。…こうして私たちは、すくなくとも私は、物理の学習とは、思いついたことは何であれ計算してみることだと学ぶことになった。必ずしも一通りの正解があるわけではなく、思い切って自由に様々な角度から考えてみることが重要であり、そしてその考えるということは、労力を厭わずに実際に手を動かして計算してみること、その上で計算結果を物理的に吟味することだということを学んだのであった。

したがって、計算を実際に「やりきる」という力がどうしても必須になります。計算が間違えば物理的な吟味にも曇りがでます。計算がやりきれなければ吟味すらもできません。

物理学に必要な力をつけるために

1. 直感をつけるために

直感を養うには、日頃から物理的な現象について考えることはもちろん、実験を通して物理を学ぶことが重要です。しかし現在の高校においては、設備費・実験に対する知識をもった教員が全員というわけでもないため、実験をしない学校が多いです。これでは、物理学が実験を伴わない「ただの座学」になってしまいます。物理を学ぶ初期段階においては、実験を用いて教科書レベルのことを検証していくつもりで学ぶ姿勢が重要になります。

2. 数学知識をつけるために

これは現状の高校カリキュラムにおいては難しいです。たとえば、高校物理は微積分を用いた数学を扱う方が見通しよく計算することができます。しかし、実際に微積分を学ぶのは公立高校では受験の直前くらいで、もはや高校3年生なのです。高校3年生から物理を学び直している暇は正直ありません。したがって、やはり「分かっている人」から管理されつつ、数学の学びを早めに拡げていくことが大切になります。自学自習で微積分まで高校数学を学び切れる人は、先生の手を借りずとも問題ないでしょう。

3. 計算力をつけるために

これは数学知識とは異なり、純粋な計算力を養うことですから、日頃の数学の学習において計算をしっかりやりきる力をつけていくことが重要となります。とくに数学2・B・3においては計算が複雑になります。センター試験レベルで言えばベクトルの内積を含む計算や、数列の一般項の和の計算であったりといった基本的な計算を確実にできる基礎訓練を積む必要があるでしょう。

仙台の物理塾なら【仙台物理実験塾PeX】へ。数学に対するフォローもしっかりとした当塾をぜひご利用ください。

塾名 仙台物理実験塾 PeX
所在地 〒983-0045 宮城県仙台市宮城野区宮城野1-1-3 尾花ビル 501
TEL 080-1326-4299
ホームページ http://physicsdoor.net

コイルのエネルギーの証明


コイルのエネルギーとは

学校で、自己インダクタンス\(L\)[H]のコイルに対して電流\(I\)[A]が流れているとき、そのコイルが持つエネルギー\(U\)は、
\[ U = \frac{1}{2} L I^{2}\]
と習う。これはなぜであろうか。

コイルのエネルギーを証明するための準備

1. キルヒホッフの第二法則

回路内の一つのループに対して、
$$\Sigma起電力 = \Sigma電圧降下$$
となるのがキルヒホッフの第二法則である。

2. エネルギー保存則

この世の物理法則の一つの大きな柱として、エネルギーは絶対になくならないし、無から生まれたりはしないという法則がある。これは実験として否定もされていない、物理を支える非常に重要な法則である。

3. オームの法則

電流\(I\)[A]が抵抗値\(R\)をもつ抵抗に流れたとき、「電流が流れた向きに」\(RI\)[Volt]だけ電圧が下がる。これをオームの法則という。

4. コイルの自己誘導

コイルに流れている電流$I$が時間変化したとき、「電流が流れた向き」を正方向としたら、
\[ V_{emf} = – L \frac{dI}{dt}\]
の誘導起電力を持つ。すなわち、電流の変化を妨げるような方向に起電力が発生する。ここで\(L\)とはコイルの自己インダクタンスと呼ばれる物理量(単位[H]ヘンリー)である。

5. 電池のする仕事率

電池は電荷をより高い電位のところに持ち上げる働きがある。[Volt]=[J/C]という単位であるから、電流\(I\)[A=C/s]が流れているときは、\(IV\)[J/s]の仕事率があると計算できる。(仕事の単位は[J]であり、それを単位時間あたりにしたものが仕事率[J/s]であった)

コイルのエネルギーの証明

1. 抵抗・コイル・電池の回路を考える

起電力\(V\)[Volt]、抵抗値\(R\)[Ohm]の抵抗、自己インダクタンス\(L\)[H]が直列で繋がれていることを考える。

2. キルヒホッフの第二法則を立てる

キルヒホッフの第二法則を回路に対して適用する。電流が回路全体に\(I\)[A]流れているとすると、
\[V – L \frac{dI}{dt} = RI\]
となる。両辺に\(I\)をかけると、
\begin{align*}
IV – LI \frac{dI}{dt} &= RI^{2} \\
IV – \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} LI^{2}) &= RI^{2} \\
IV &= RI^{2} + \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} LI^{2})
\end{align*}
となる。左辺は「電池がする仕事率」であった。エネルギーはなくならないから、電荷に対してなされた仕事はどこかに使われるなどするはずである。実際、右辺第二項の\(RI^{2}\)は「抵抗における消費電力」にあたる。そして右辺第一項の時間微分内の\(\frac{1}{2} LI^{2}\)こそがコイルに関するエネルギーには違いない!たとえば、
\[ 100 = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2} LI^{2}) + 10\]
という内訳になっていたとすれば、\(\frac{d}{dt}(\frac{1}{2} LI^{2})\)は「コイルのエネルギーの時間変化」を表すわけだから、それが90[J]だけ単位時間あたりに増えるということを意味する。こうして、電池がした仕事の100[J]は抵抗で消費されなかった分がコイルに移動しているということがわかるわけだから、やはり「エネルギー」を蓄えていると考えられるであろう。エネルギーはなくならないはずだからである。

TOEICが難しかったらしい?

おはようございます。

僕は最後にTOEICを受けてから久しいのですが、英語教育界隈でもTOEICを専門に教えているとある知り合いのTwitterで結構きつかったという話を聞きました。彼でも苦労するのだから、結構TOEIC難しくしているんですね。

以前よりは格段にレベルも上がっているはずだし、自分もそろそろ久しぶりに受けてみようかなと思いました。(なお、仕事があるので日程調整できるかは怪しい)

TOEICはビジネス英語を中心とした英語リスニングとリーディングです。大学受験でしっかり英語を学んだレベルであれば十分点数は取れると思いますが、ビジネスで使うような単語が多いので、そちらは別に押さえておく必要があります。

学校の英語だけの場合、外部のテストを使って自分のモチベーションを保つというのは一つの勉強方法と言えるでしょう。私もそうですし。

それでは今日も一日頑張りましょう。

勉強できるというのは幸せなんだ

さて本日は日曜日です。私も普段は日曜日は仕事ですが、今週はたまたま月の中の5回目の日曜日のため授業が少ないです。

そういう日にもちろん息抜きもしますが、私は勉強をじっくりします。
日頃は仕事でじっくりと勉強できる時間がありませんので、長い時間かけて読むような専門書をこういう日に読みたくなります。

人生、毎日学ぶことだらけです。

みなさん、親が身の回りのことをしてくれて勉強できる環境というのは本当に素晴らしいことなのです。大学生になると一部の人は一人暮らしとなり、そのありがたさを身を以て実感できるできることでしょう。それは社会人になれば、尚更です。学ぶ必要なんてない、と考える人がほとんどですが、私のように日々学びたい人にとって、勉強・研究などに頭を割ける時間が取れないことがほとんどです。自分で生きるためのお金を稼ぎ、家事などあらゆることをしなければならないのですから。

勉強するにも場所が必要です。家があることに感謝しましょう。
紙・ペン・本を買うにはお金が必要です。買ってくれることに感謝しましょう。
塾に通うにはお金が必要です。通わせてくれることに感謝しましょう。
学校に行って学ぶこと自体が当たり前かもしれませんが、学費というものは常にあります。払ってくれていることに感謝しましょう。
家事には様々ありますよね。洗濯・料理・買い物・掃除・皿洗い、人によってはアイロンがけなどもっとあるでしょう。それを一部手伝わされている人も多いとは思います。でも一方、何もやっていない人も多いと思います。感謝しましょう。

しかし、こういうことは、いつも後になって気がつくのです。あのとき、こんなに大変だったんだな、と。
自分が生きていた環境はこんなにありがたいものだったのだ、と。

感謝し、学びましょう。

仙台、寒くなってきました

おはようございます。今朝の気温は16度でした。文京区で21度、大阪では現在24度らしく、関西は暖かいなぁ、と改めて(笑)

仙台に来てから5年ほど経ちましたが、未だにこの寒さにだけは耐えられません汗。
東京でも勿論現在の仙台くらいの気温は普通にありますが、その時期はおそらくだいぶ冬でしょうし、コートとか着ててもいいと思うのですよ。が、仙台で16度でコートは早い。

ひとまず衣替えの時期/クールビズが終わる時期なので、早めにスーツの上着を着てしまおうかなと思っています。

本日は外部の英会話講師に出向き、それが終わるとPeXでの授業となりますね。確実に成績を上げるために今日も奮闘いたしましょう。

大数月刊号はうまく扱える

こんにちは。大学への数学には月刊号があり、数学好きにとっては学力コンテスト(月刊号の最後の方に記載された問題を解いて送るコンテスト)は大変面白いです。

が、そのようなマニアックな使い方でなくとも、基礎的な演習に役立ちます。

毎月テーマが決まっており、10月号は先日発売されましたが「場合の数」です。場合の数をトレーニングするための①基礎レベル②標準レベル③発展レベルの三段階に問題レベルを分けてくれており、苦手な人は①で徹底演習をその月するのが良いと思います。もしも①は大丈夫そうであれば②を。さらに受験に向けて頭を使いたいというならば③も日々やってみると面白いです。

高校生が勉強しなければならない膨大な数学のなかでとりあえず大学への数学のテーマに合わせて毎月勉強しておこう…というのはなかなかいい作戦ではないでしょうか。
毎月克服していく感覚もあるでしょう。これを高校一年生の段階で①は完璧にし、高校二年生では①を復習、②は演習として、③はチャレンジとしてやってもらうのを毎月繰り返していたら…本当に力がつくと思います。

もしも月刊号のペースだと(数三も入って学校のペースと乱れるために)厳しい場合、前年度の月刊号を漁って、自分の学校でやっている分野だけを出して来るというのもアリだと思います。

たかだか1,300円程度ですから、ぜひ毎月買って(全部やりきることは目標にせず)有効活用してみましょう、というご案内です。

そういえばいつも思うのですが…これの物理VER.ってないですよね…。笑

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