【大学受験:熱力学】1.内部エネルギー変化はどうしてnCvΔTとかける?

熱力学ワンポイントクイズ!その1です。みなさん、あまりに自然に、

$$ \Delta U = n C_{V} \Delta T $$

を使っていませんか?しかしこれは常に成り立つ式ではございません。理想気体であるときには成り立つ関係式です。

では、どうして理想気体であればこの関係式が成り立つのでしょうか?問題を解くだけでは実用上これさえ押さえておけば何とかなることも多いですが、時には振り返ってみましょう。

解説図1

上図のようにして、P-V図上で始めの状態\(S_{0}\)を定め、そこでの温度を\(T_{0}\)とします。そして、その温度よりも少し高温の\(T_{0} + \Delta T\)の等温線を引き、そこでの異なる三状態を\(S_{1}, S_{2}, S_{3}\)とします。

ここで熱力学の法則の中で非常に重要なものがあります。それは、「理想気体の内部エネルギー\( U\)は温度のみの関数であり、\( U=U(T)\)と書くことができる。」ということです。これが今回の核になっています。

これはすなわち、温度さえ保てば、他のどんな物理量を変化させても内部エネルギーは一定ということです。非常に強力です。このことから、

解説図2

上図のようにして内部エネルギー変化を\( \Delta U_{01}, \Delta U_{02}, \Delta U_{03} \)とおくと、

$$
\begin{align}
\Delta U_{01} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{02} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{03} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0})
\end{align}
$$

となる。したがって、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} \tag{1}
$$
とかけることになる。

さて、初めには言及していませんでしたが、\(S_{0}\)から\(S_{1}\)への状態変化を「定積変化」としましょう。定積変化においての熱力学第一法則は、

$$
\Delta U_{01} = Q – W
$$
において、\(W=0\)であり、定積モル比熱\(C_{V}\)を使えば\(Q = n C_{V} \Delta T\)と書くことができますから、

$$
\Delta U_{01} = n C_{V} \Delta T \tag{2}
$$
となる。ここで、式(1), (2)から、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} = n C_{V} \Delta T
$$
とかけたことになる。したがって、\(\Delta T\)だけ上がるどのような状態変化に対しても、内部エネルギーの変化は、

$$
\Delta U = n C_{v} \Delta T
$$
とかけたことになる。証明終了です。

まとめると、

全体の流れ

このようになっています。いかがでしたか?

皆さんの理解の一助となれば幸いです。

2018年11月28日 模試の解説

某K塾さんの物理解説をメインにしました。計算量が多いところもありましたので、計算やまとまって考える力がないと厳しかったかもしれませんね。

 

画像は電磁誘導の問題でした。さて、明日もまた頑張っていきましょう!

2018年11月26日 光学の授業

本日は浪人している方に向けて光学の授業でした。

光学の授業中

光学も力学的波動も、数学的表現が本来必要になりますから、両者の整合性を理解してもらいながら進めるのはなかなか難しいです。

直感ももちろん、その上で数学的にどうなっているのか理解する。それでこそ面白さがあります。

今日はhalf mirrorの実験に関する問題でしたね。とてもいい演習になったと思っています。

2018年11月24日 摩擦による圧力損失〜流体力学〜

円管内の層流

 

本日は高専生に流体力学をティーチング。円管内に蒼龍があった場合の、摩擦による圧力損失を考える問題。流体力学は専門ではありませんが、学んでみると奥が深いし面白いものがたくさんありますね。こういう実験がいつかできたらいいなぁ。はやくPeXをちゃんと建てたいところだ!

2018年11月20日 慣性モーメントの計算

慣性モーメントの計算

慣性モーメントの計算を高専生に向けて行いました。運動方程式の扱いに慣れてきても、なかなか最初は回転の運動方程式の概念に慣れ親しむのが難しいですね。回転のしにくさという感覚を身につけましょう、と伝えました。

高専生はたくさん物理を勉強しないといけないから、大変ですね…。

2018年11月13日 模試の解説1

電磁誘導の法則の解説中

さて、この日はネットで授業を受けている遠隔の生徒さんでした。センター模試を最近受けていたので、そちらの解説をざーっと全て行いました。

やはり、模試の解説は生徒にとってはとてもプラス効果です。まず、受験生はセンター模試でミスしたという印象を引きずります。それは自信喪失などにつながりますが、復習にも手間がかかりますし、自分の誤解を修正するのはなかなか骨が折れるものです。もちろん、大学に進学した場合はそのような修正能力は必須となりますが、全ての受験生にそこまで求めるというのは酷なものです。それの解説により完全な理解、自分の知識の修正、それが完了すると、自分は「もうこの模試で満点が取れる」という自負が得られ、苦手な意識を克服します。これの繰り返しは非常に重要ですが、なかなかできないものです。

もうセンター試験は間近ですが、まだまだ伸びます。私も含めて、尽力していきたいところです。

2018年11月12日講義 コンデンサー

コンデンサーの問題の考え方

本日も前日に引き続きまして同じ生徒さん。今日は気分を変えて某カフェにて黒板はありませんが講義をさせてもらいました。

コンデンサー、実は昔現役生の時はまったくできなくて本当に苦手でした。

いや、まずコンデンサーってなんやねん。って感じでした。「導体を向かい合わせたもの」と習いますが、まずそれでどうして電気を蓄えることができるか謎でしたし、実際に実験でコンデンサーを見てみると、

https://www.marutsu.co.jp/GoodsListNavi.jsp?path=160004

こちらのように、導体を平面に組み合わせてる感が全くなくて、混乱。電磁気学は力学と違って最初はイメージがつきにくいので難しいですね。

それが一挙に解決したのが浪人生の時で、「無限に広い平面に電荷が一様に分布している」場合、その平面がつくる電場が理想的にはどれだけ離れていても一定で面から飛び出す方向に電場が存在します。(もちろん負電荷が分布している場合は吸い込む方向です)これを有限の面積S(十分広いとして)問題を進めていくのが高校物理のコンデンサー。こういう認識がないと、全く理解不能です。

ただ、一般にはとりあえず向かい側と逆符号の電荷が蓄えられるんだ…とか、間の電場は一定なんだ…とか、V=Edなんだ…とか。そういうところが断片的に教えられてしまうので、???となってしまうと、死にます。私は死にました。

今日の生徒さんには少し難しめに、ちゃんと物理したコンデンサーの概念を教えて問題にあたったところ、きちんといい反応が得られました。これだ、これだ、物理はこんなにシンプルなんだよ…。

そういうことが教えられた1日でした。

2018年11月11日講義 コンデンサーの基礎・オシロスコープの読み方・半導体の基礎

無限に広い平面に一様に分布する電荷がつくる電場

講義がほぼ毎日あるので、そちらを記録しないのは勿体無いと思い、情報発信の意味も込めて簡単にまとめていきたいと思います。

最初の画像はこの日の授業で扱った問題の一部です。高校生の物理で、コンデンサーの基礎となるところをやりました。普通は高校生には教えられませんが、非常に重要なところなので取り扱っています。

 

半導体の説明やオシロスコープの読み方の説明

こちらの画像は、オンラインで講義させていただいている社会人の学生の方で、なかなか実験物理に馴染めないということで教えています。今回はオシロスコープを用いた実験を行ったようですが、オシロスコープの読み方などを画像付きで詳しく教えておりました。また、実験の予習として、次回は半導体素子を用いた実験であったため、その基礎部分の解説をしていきました。

やっぱり、実験物理はいいですね!

物理を深く学びたい方、物理が全然わからないが何とかしたい方、また物理に興味があるが何をしたらいいかわからない方、など、どんな方でも生徒として募集しています!ご連絡は問い合わせからどうぞ!相談だけでもお気軽に!

センター試験物理解説動画集

センター試験物理の解説動画を定期的にアップロードしています。
1-1は「第1問の問1」の略です。

 

 

 

2018年 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
2-1 2-2 2-3 2-4
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5-1 5-2 5-3
6-1 6-2
2017年 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
2-1 2-2 2-3 2-4
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5-1 5-2 5-3
6-1 6-2
2016年 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
2-1 2-2 2-3 2-4
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5-1 5-2 5-3
6-1 6-2
2015年 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
2-1 2-2 2-3 2-4
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5-1 5-2 5-3
6-1 6-2
2014年 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5
2-1 2-2 2-3 2-4
3-1 3-2 3-3 3-4 3-5
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5
5-1 5-2 5-3
6-1 6-2

どうして人工衛星は回っていられるのか


人工衛星。私たちの生活の上で欠かせないものです。とはいっても、具体的にどのような役割をしているかご存知でしょうか。以下まず役割を解説してみましょう。

人工衛星の役割とは?

JAXA(http://www.jaxa.jp/projects/sat/)のページをみると、さまざまな人工衛星が活動中・開発中であることが見て取れると思います。

①天体を観測するため

地球以外の天体、たとえば太陽などを観測するためです。このような人工衛星を「天文観測衛星」と呼びます。天文観測衛星は宇宙空間に配置し、大気圏を避けています。なぜなら、太陽などからやってくる光(赤外線・紫外線・可視光線)は大気圏に存在する粒子に衝突することで吸収されてしまったり、散乱されること(弾かれるということ)で本来の情報を失ってしまうからです。太陽からの光をダイレクトにありのままに受け止めたいのであれば、宇宙空間に置く方が正確な測定ができるわけです。

【どうして大気圏外に置くべきか】

 

2018年7月9日現在上記JAXAのページによれば、太陽を観測する「ひので」、惑星を観測する「ひさき」、宇宙嵐とそれにより生成消滅を繰り返している高エネルギー電子の解明を試みる「あらせ」、地球の磁気圏を測定し太陽からのエネルギーの流れを読むための「GEOTAIL」などがあります。

 

②地球を観測するため

これがもっとも私たちに馴染みのある人工衛星でしょう。なぜなら、毎日ニュース番組などでみる天気予報における情報のもとは、「地球観測衛星」と呼ばれる人工衛星によるものだからです。地球観測衛星は主に二つの用途があり、一つはある地点の上空で動かないように配置することで気象情報などを得ようとする用途です。日本の上空には「ひまわり8号」が存在し、私たちに雲のうごきなどを伝えてくれています。もう一つは、より地球に近づいたような位置にすることで、地球の広域の詳細情報を掴もうとする用途です。

 

③通信・放送のため

スカパーJSAT(https://www.jsat.net/jp/satelliteCommunications.html)などの通信・放送サービスを行う民間企業が主に利用しています。放送データなどを、放送局から家庭毎に通信して渡して行くのはあまりに非効率です。スカパーはCMなどでもご存知の方が多いかと思いますが、放送番組です。放送局は放送データを一挙に保有している衛星にアップロードします。そして、そのデータをスカパーをご覧になるお客様方へ向けて、上空から一気に送信するのです。非常に効率的になります。

 

④測位のため

これも私たちが大変お世話になっている機能で、「測位衛星」と呼ばれます。いわゆるGPS (Global Positioning System)であり、Google Mapsで目的地を探すときや、カーナビで役に立っています
GPSとはそもそもアメリカが保有する衛星のことであり、携帯電話やカーナビにはGPSからの電波を受信できるようににするための「受信機」が搭載されています。だから、Google Mapsなどで私たちの位置を特定することができるのです。とても便利なGPSですが、先にも述べたようにアメリカが保有するもので、実は軍事目的のために作られたものです。したがって、何か世界的によくないことが起こったりした時は、アメリカは自分の衛星なのですから、自分たちの思うような使い方に絞り私たちが普段使うようなことに使えなくなる可能性があります。では日本も測位衛星を打ち上げればいいではないかと思うかもしれませんが、コストなどを考慮すると非常に維持するのに大変な代物で、なかなか手が出ないのです。なので、日本は基本的には外国の測位衛星に頼っています。アメリカの「GPS」以外では、ヨーロッパ諸国による「ガリレオ」、中国の「北斗」、ロシア連邦の「GLONASS」などがあります。

他にもいくつかの用途はありますが、主だって私たちの生活に影響するものは以上になります。

人工衛星はなぜ回っていられるのか

直感的な答えを述べましょう。私たちがキャッチボールをするとき、投げたボールは山なりを描いて落ちていきます。しかし、肩が良い人は真っ直ぐ、力強く投げることができるでしょう。とはいっても、野球選手ほどの肩でもボールはしっかり落ちていきます。では、それが人間にはできないほどの速さで投げれたとしたら、どうなるでしょうか。やはりどんなに速くても地球からの重力がありますから、ボールは落ちます。しかし、あまりにも速すぎて落ちるに落ちれない、そんな状況が生まれる気がしませんか?そして投げたボールは地球をぐるっと一周し、自分の頭の後ろにやってくる。一人キャッチボールができてしまうわけですね(笑)ちなみに、この速すぎる「速さ」のことを「第一宇宙速度」といいます。

【人工衛星が回る原理】

空気抵抗などを無視した簡単な計算によれば、第一宇宙速度はおよそ7.9[km/s]です。1秒に7.9km進むという速さです。42.195kmのフルマラソンをわずか6秒程度で終わらせてしまうほどの速さです。ありえません。ありえない速さです。よって、一人キャッチボールは無理です(笑)

冗談はさておき、直感的には人工衛星はこのような原理で地球の上空を回り続けています。落ち続けているのです。速すぎて落ちてこないだけなのです。

 

地球周回軌道について

人工衛星の役割によって分類するのはすでに書いた通りです。一方、別の捉え方で人工衛星を分類することもあります。それが、「地球をどのように回っているか」=「地球周回軌道」です。

①高いか低いか

とても分かりやすい分類です。地上からどれほどの高さにいるかということで分類をします。
低軌道は1000km以下、それ以上を中軌道、さらに36,000km以上を高軌道と呼びます。

 

②赤道面から軌道がどれだけ傾いているか

これを「軌道傾斜角」と呼びます。この定義から、0度以上90度以下の値で指定されることがわかるでしょう。

 

③地球にもっとも近づいた時の距離・遠ざかった時の距離

一般に二つの物体の間に及ぼしあう重力によって描かれる軌道は楕円軌道であり、円軌道とは限りません。楕円軌道のとき、必ず地球にもっとも近づいた瞬間と、遠ざかった瞬間が存在します。それぞれ、「近地点高度」、「遠地点高度」と呼びます。仮にも近地点高度=遠地点高度だった場合、それは楕円軌道の中でも特殊な円軌道というものになるわけです。たとえばハンマー投げをする選手がハンマーをもってぐるぐると回しているとき、そのハンマーの先端の球の軌道は、楕円でしょうか、もっといえば円でしょうか?

 

④どれくらいの時間をかけて地球を一周しているか

これを周期と呼びます。分かりやすい分け方ですね。

さて実際にJAXAのページ(http://www.jaxa.jp/projects/sat/slats/index_j.html)から地球観測衛星「つばめ」の情報を見てみましょう!

今回は軌道の高さで分類していますね。1,000km以下なので、これはいわゆる「低軌道」ということになるわけですね。

 
参考文献:谷口義明 (2013)『新天文学事典』講談社