【告知】2019/8/31(土)第五回異分野交流会「連続体仮説について」

異分野交流会とは?

2019年8月31日に第五回異分野交流会を開催いたします!前回は宇宙の玉手箱を紐解く!卒論イントロダクション&オーロラ入門編というテーマでお二人の方から講演していただきましたね。
異分野交流会とは、「現役の研究者がその研究をシェアする場」であり、それを「お酒・料理・おつまみ有」でまったり楽しもうよという趣旨のイベントです。

講演内容

「連続体仮説について」(数学基礎論分野)

連続体仮説は, 実数全体からなる集合の大きさに関する有名な命題である. この問題が有名である理由として, その問いの内容がシンプルであり, かつそれでいて独立命題ことが示されている, つまり証明も反証もできないことが数学的に証明されていることが挙げられる. 歴史的な背景もあり, 連続体仮説やその証明方法は, 筆者が専攻している数学基礎論 (Mathematical Logic) において基本的なトピックのひとつになっている.

本講演ではこの連続体仮説とその証明について概説する. 前提知識として高校数学程度のことは知っていると想定する.  短い時間での発表であるから, 数学的内容を詳細に正確に説明するよりも, 命題や証明の雰囲気を伝えられること目指す.

 

参加方法

connpass(https://pex.connpass.com/event/142181/)にて参加申請をするのみです。

  • 参加費:3,000円(食べ飲み放題)
  • 場所:仙台市宮城野区宮城野1-1-3 尾花ビル501

友達を一人連れてくれると、二人とも「2,000円」です!

2019年7月29日 オールイングリッシュ授業

こんにちは。この日の指導は物理数学・英語を高専生の方に、数学を高1の方に指導しました。

高専生の方はもう一応ベクトルをやってきているので、仕事の定義をベクトルの内積で答えてもらうように(考えてもらうように)していますが…やはり最初は考えるのが大変なようですね。やっぱりちょっと高専の授業おざなりでは…?と思う節が生徒の様子から伺えます。物理分からない高専生やっぱり多いというのは本当そうな気がしますね。

英語の講義では最近80%をオールイングリッシュ(英語で英語を教える)にしてみています。生徒がリスニングが必要なので、問題と向き合うだけでなく授業中にも普通に英語を聴いて欲しいわけです。英語でわからないことがある場合、僕はジェスチャーや表情・図を使って簡単に伝えるか、言葉をもっと砕いて説明することで日本語をなるべく混ざらないようにしています。英語は英語で理解しましょう、というわけですね。

高校一年生に教えた数学はオンライン指導でした。多少遠隔の時や家を出る都合が悪くなった時にすぐにオンラインでもできるというのは利点ですよね。主に数学の場合の数の分野のお話と問題演習を一緒にしました。円順列のあたりで少し混乱する生徒が多いですが、よくできておりました。

先生はこの後宿題をLaTeXに打ち込んで皆さんにお配りするところです。徹底的に個々の生徒に即して教えるのが大事ですからね。それではまた!

仙台で物理を学ぶなら【仙台物理実験塾 PeX】

塾名 仙台物理実験塾 PeX
所在地 〒983-0045 宮城県仙台市宮城野区宮城野1-1-3 尾花ビル 501
TEL 080-1326-4299
ホームページ http://physicsdoor.net

【レポート】2019/7/13(土)第四回異分野交流会:地球物理学のお二人から!

異分野交流会再開しました!

2019年7月13日「第四回異分野交流会」を開催いたしました。前回の「第三回異分野交流会」実施から2年ほど経っています。この時は講演者側のボスである先生も乱入されて非常に盛り上がった記憶が今でも新しいです。それ以降は同じ場所での開催が厳しくなってしまいましたので、新しい箱を構えるまではお休みしていました。

会場の雰囲気

日野太陽君の講演中(画質が悪くてすみません)

みんな真剣にお話聞いてますね!参加者は「異分野交流会」という名の通り様々な分野の方が集まっていただきました。途中は司会進行の私も含め、いろいろな人から質問が飛び交って大盛況!

今回の講演テーマは、

  1. 藤岡悠理(東北大学地球惑星物質科学科 4年生)による「宇宙の玉手箱を紐解く!卒論イントロダクション
  2. 日野太陽(元東北大学地球物理学専攻 現職気象庁)による「オーロラ入門編

でありました。藤岡君のお話も日野君のお話も、基本的な部分から最先端のことのお話まで様々なことが学べる・知れる大変充実した発表でございました。

今回不手際で写真もあまり撮れていなくて恐縮ですが、料理は全て手作りで用意したものでなかなか皆様満足されていたようです!やっぱり作りたての料理は美味しいですね!これからも料理は自作で用意いたしますので、そういう意味でも(?)ご期待ください!

次回について

次回は8月末あたりの日曜日を検討しており、数学系のお話になる予定です。またの告知をお楽しみに!最新情報はこちらのHPと、公式Twitter(@sendai_pex)に発信いたしますのでチェックしてくださいね!

今までの参加された方には声をかけると思われます。どうぞよろしくお願いいたします。

【レポート】2017/8/26(土)第三回異分野交流会:量子情報理論への導入!

2017年8月26日(土)、予定通り第三回異分野交流会を開催いたしました。

テーマは「量子情報物理学」。Twitterなどで物理の界隈を見ていると最近ちょこちょこと話題になる物理学の分野です。

今回の参加者は全部で4人。私(北山慎之介)、講演者(M2 素粒子理論研究室)、数学科からの方(B3)、工学材料系の方(M2)といった感じです。

4年生の方にも多少声をかけたのですが、院試直前直後といったところで、今回は時期的に微妙だったようです(汗)

講演内容

  1. 量子力学の解説
  2. 古典情報理論の解説
  3. 量子情報理論(量子テレポーテション・量子鍵暗号)の概説

といった感じでした。特に印象に残っているのは「量子鍵暗号」の話で、鍵を輸送するときに誰かに鍵が奪われる可能性がないかということを、現在進行形で探知できるということでしたね。あとはお酒でまったりしていたので、覚えているような、覚えていないような…といった感じです(笑)

会場の雰囲気

  • 質問を受けて解説中…

  • プロジェクターで基本解説

     

みなさん食べ物・飲み物を自由に取りながらリラックスした様子で聞いておられました。途中、講演者山口さんのボスである堀田先生が会場にいらっしゃり会場でびっくり。(私だけかもしれません…?)

堀田昌寛先生は量子基礎論、量子情報理論や一般相対性理論などを研究分野にしていらっしゃる東北大学の先生です。おそらく東北大学理学部物理学科に進学する方の一部は、堀田先生の授業を受けることもあると思います。(私は量子力学演習でお世話になりました)

堀田先生が時折更新なさるHP(http://mhotta.hatenablog.com)も物理学の面白い話がたくさん書いてありますので要チェックです(内容は物理学を学んでいないと読むのは難しいです)。

今回は量子情報物理学というホットな話題で最先端お酒を飲みながら学術的なお話をざっくばらんに聞けるのはやはりいいですね!次回の開催は未定ですが、またのお楽しみに!!

2019年5月27日 三角形の成立条件

こんにちは。今回は生徒の定期考査対策で、三角形の成立条件に関して深く学習していきました。

△ABCに対して、三角形の成立条件とは、

$$|b-c| < a < |b+c|$$

が成り立つことです。今回の問題は、

$$x>1と仮定する。\\x^{2}-1, x^{2}+x+1, 2x+1を辺とする三角形を作るとき、\\最大角を求めよ。$$

です。解いてみたい人はこの先が解説になっているので読む前に解いてみましょう。

そもそも三角形が成立するか

これは上に書いた成立条件の式を使います。辺の長さとしてa, b, cは自由にとってよいので、たとえば、

$$|(x^{2}+x+1)-(2x+1)| < x^{2}-1 < (x^{2}+x+1)+(2x+1)$$
$$|x^{2}-x| < x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

ここで不等号が二連続でつながっているものは「かつ」で結んだ条件と同値なので
$$|x^{2}-x| < x^{2}-1 かつx^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

と変形することができます。

$$-(x^{2}-1) < x^{2}-x < x^{2}-1 かつ x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

$$-(x^{2}-1) < x^{2}-xかつx^{2}-x < x^{2}-1 かつ x^{2}-1 < x^{2}+3x+1$$

この不等式を「かつ」で結んだものを解いてあげると、

$$x>1$$

を得る。いま、x>1は前提条件であったから、すでに三角形が成立する条件は満たされていることになる。

最大角はどこか?

ここでは、「最大辺に対応する対角が最大角となる」ことを利用します。

ここでどの辺が最大になるかは全くわかりません。もしかしたらxの値により最大辺が変わるかもしれませんし、どんなxの値でも何かが最大辺となるかもしれません。

ひとつ目安として、

$$x^{2}のほうがxよりも大きくなっていきやすい$$

という点に着目すると、

$$x^{2}+x+1とx^{2}-1は、2x+1に比べて大きそう$$

という予想を立てるのは良いことだと思います。では二乗同士の優劣ですが、差をとってみると、

$$(x^{2}+x+1) – (x^{2}-1) = x+2>0 (x>1のため)$$

となります。さらに、

$$
\begin{align*}
(x^{2}+x+1) – (2x+1) &= x^{2}-x\\
&= x(x-1)>0(x>1のため)
\end{align*}
$$
となるので、最大辺は、

$$x^{2}+x+1$$

であることがわかりました。こうして、最大角はこの辺の対角となります。

最大角を求める

上で求めた最大角について余弦定理を適用します。下の図のようにして△ABCを設定してあげます。

△ABCの設定

ここに余弦定理を適用すると、

$$
\begin{align*}
\cos{C} &= \frac{a^{2} + b^{2} – c^{2}}{2ab}\\
&= \frac{(2x+1)^{2} + (x^{2}-1)^{2} – (x^{2}+x+1)^{2}}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= \frac{-2x^{3}-x^{2}+2x+1}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= \frac{-(x+1)(x-1)(2x+1)}{2(x^{2}-1)(2x+1)}\\
&= -\frac{1}{2}
\end{align*}
$$
となります。よって、求める最大角は120度となるわけです。

2019年5月24日 特殊相対性理論を取り入れた力学の再構築

さて、今日は高校一年生に向けて(中3の頃から)やってきた特殊相対性理論の講義が一通り終わりました。その最終講義の一部を紹介いたします。

黒板その1

特殊相対性理論を取り入れると、通常の力学では重要な法則となっていた「運動量保存則」が一見成立していないように見えます。これは直感的には微妙な状況です。それを打破するために考えられたのが、「同じ質量と考えていたものは、自分から見たときの速さによって質量が異なるのでは?」という大胆な仮定です。

黒板その2

この仮定のもと、運動量保存則が成立するように速度vのときの質量m(v)を求めると、

$$m(v) = \gamma m(0)$$

と表現できます。ここで$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^{2}}}$$です。γはどんなvの値でも1より大きい値ですので、自分から見て何らかの速度vを持つ物体は、静止しているときの速度に比べて大きな質量になってしまう、ということがわかります。つまり、「動いている物体は太ってみえる」ということになるわけです。面白いですね。このm(o)のことを静止質量と呼びます。

ここまでの議論はあくまで妄想に過ぎません。なぜなら、「運動量保存則が成立するためには、質量m(v)がこのように表現されるべきである」ということを計算して見たに過ぎないからです。これの正しさを確認するのが実験です。物理学は最後に実験に頼らなければなりません。実際にこの正しさを証明した実験がコンプトン散乱です。

この実験では電子に対してX線(光子)を照射したのですが、この2粒子の衝突のエネルギー保存則や運動量保存則を議論するのに特殊相対性理論が必要になってしまいます。そして実際に特殊相対性理論を用いて議論した結果得られる理論値が、コンプトン散乱における実験結果を非常によく説明しました。これが特殊相対性理論の正しさを裏付けることになりました。

さて長々と書きましたが、これに核エネルギーの話を少々して今回の相対性理論の講義を終えました。本来電磁気学と絡めた話もすると面白いですが、いまだ電磁気学を学んだことのない高校一年生に対して特殊相対性理論の面白さを語るにはとりあえずここまでがキリが良いと考え、ここで一旦打ち切りました。今後は高校物理の講義を高いレベルから行っていく予定です。

 

2019年5月20日 内心と外心が一致する三角形は?

今回は高校一年生に対する数学(三角形の五心)が試験範囲なので授業をいたしました。

 

一問だけ扱った問題を取り上げましょう。

問題:三角形の内心と外心が一致するなら正三角形であることを示せ。

とのことです。生徒さんはこのような図形の証明問題が苦手そうでした。まず、とりあえず適当に作図しましょう(図中1)。内心とは何か、重要なのは頂角の二等分線の交点が内心であるということですから、図中2のようにして描いておきます。そして図中3のようにして外心の特徴である、中心から頂角までの距離が半径で一定であるということを描き込んでおきます。

ここで、図中4にあるように、内心と外心が一致するイメージを作ります。なぜなら、今回の問題設定は内心と外心が一致することを仮定しているからです。すると赤色で作られた三角形と青色で作られた三角形が完全に一致することになるため、図中5にあるように○=×であることがイメージできると思います。

さて、次に図中6のようにして緑色の補助線を引っ張り、別の角度の部分についても考察してみます。すると△と書いたところと◯のペアについても全く同じ議論ができますから、結局◯=×=△が成立します。

ここまでわかったことをすべて図中7のようにして整理してみると△ABCというのはどうやらかなり特殊な三角形であることがわかります。ここからは生徒が独自で考えた方法1と、私がその場で提供した方法2との解法を示しております。私の講義の場合、絶対に生徒の考えを真っ向から否定はしません必ず生徒の考えを受け付け、いろいろな考え方を共有します。今回生徒から出たのは「円周角の定理の逆」を用いた証明です。今は正三角形であることを示したいので、絶対にそのことに触れてはなりませんが、図中7の×二つ分ずつでとりあえず△ABCの内角がすべて等しいことがわかります。(この時点で人によっては△ABCが正三角形であることは自明ではありますが、絶対に私はこの時点で否定したり止めたりしません)そこで生徒が考えたのは、

  1. 角A,B,Cがすべて等しいということは、孤AB,BC,CAに対する円周角が等しいとも捉えられる
  2. つまり円周角の定理の逆より、孤AB,BC,CAの長さは等しい
  3. つまり辺AB,BC,CAの長さも等しい
  4. このような△ABCは正三角形である

という議論。間違っていません。これをいきなり2の段階で、「いやいや、角度等しいんだから正三角形でしょう」というのは無粋と考えています。実際答えにたどり着けましたから、それで良いのです。


さて今日は数学の講義でした。また次回の講義で更新することにいたしましょう。

2019年5月17日 高1 相対論的力学の構築

お久しぶりでございます。講義をしているのならしっかりと更新しないとですね(^^;)

中3の頃から授業をさせていただいておりました生徒様が高1にあがり、受験を気にせずゆったりと自分の学びを深めております。この日はその彼の講義で「特殊相対性理論」を仮定した場合にどのようにして力学を書き換えるかという問題です。いわゆる相対論的力学という話。

慣性系と慣性系の間の関係性はガリレイ変換で結ばれるというのが一般的な力学の立場ですが、特殊相対性理論のもとではローレンツ変換で結ばれることになります。しかしそのもとでは力学における重要法則であった「運動量保存則」が慣性系がうつりかわることによって乱れます。これではいけないであろうと、「運動量保存則」を成立させるにはどのような仮定を組み込むべきかと策を練ることになります。このために導入されるのが「質量は実は慣性系によって値が異なるのでは?」という大胆な仮定。これによって実は運動量保存則の問題は解決されていきます。

さらに進み、相対論的力学における「力」「エネルギー」はどのように定義すればよいかという問題が起こります。そこで力は運動量を時間微分したもの:

$$ F = \frac{d}{dt} (mv)$$

と定義し、エネルギーは仕事率とエネルギーの時間変化の関係:

$$\frac{dE}{dt} = Fv$$

によって定義することにしたのです。こうして特殊相対論を考慮した力学が構築されました。今回の講義ではここまで。詳細な計算は実は端折っていて、次回の講義にそれを全て示す予定です。今回は主な流れを説明したということになります。


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【2018年度合格者】仙台物理実験塾PeX

2018年度の大学入試の合否が出ました。

以下、”大学名(性別等/授業形式/指導教科)”という記載をしております。

【逆転合格】東北大学 医学部 保険学科検査技術科学(女性・高3/Skype授業/国語・数学・物理・化学・英語)
【合格】青山学院大学 理工学部(女性・高3/Skype授業/数学・物理・化学・英語)
【合格】同志社大学 生命医科学部(女性・高3/対面授業/数学・物理)

おめでとうございます。東北大学に合格された方は夏からおおよそ半年程度見ておりましたが、本当に頑張りました。現役生が前日のギリギリまで頑張る、そういう努力の実りを確かに目に致しました。

【大学受験:熱力学】1.内部エネルギー変化はどうしてnCvΔTとかける?

熱力学ワンポイントクイズ!その1です。みなさん、あまりに自然に、

$$ \Delta U = n C_{V} \Delta T $$

を使っていませんか?しかしこれは常に成り立つ式ではございません。理想気体であるときには成り立つ関係式です。

では、どうして理想気体であればこの関係式が成り立つのでしょうか?問題を解くだけでは実用上これさえ押さえておけば何とかなることも多いですが、時には振り返ってみましょう。

解説図1

上図のようにして、P-V図上で始めの状態\(S_{0}\)を定め、そこでの温度を\(T_{0}\)とします。そして、その温度よりも少し高温の\(T_{0} + \Delta T\)の等温線を引き、そこでの異なる三状態を\(S_{1}, S_{2}, S_{3}\)とします。

ここで熱力学の法則の中で非常に重要なものがあります。それは、「理想気体の内部エネルギー\( U\)は温度のみの関数であり、\( U=U(T)\)と書くことができる。」ということです。これが今回の核になっています。

これはすなわち、温度さえ保てば、他のどんな物理量を変化させても内部エネルギーは一定ということです。非常に強力です。このことから、

解説図2

上図のようにして内部エネルギー変化を\( \Delta U_{01}, \Delta U_{02}, \Delta U_{03} \)とおくと、

$$
\begin{align}
\Delta U_{01} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{02} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0}) \\
\Delta U_{03} &= \Delta U({T_{0} +\Delta T}) – \Delta U(T_{0})
\end{align}
$$

となる。したがって、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} \tag{1}
$$
とかけることになる。

さて、初めには言及していませんでしたが、\(S_{0}\)から\(S_{1}\)への状態変化を「定積変化」としましょう。定積変化においての熱力学第一法則は、

$$
\Delta U_{01} = Q – W
$$
において、\(W=0\)であり、定積モル比熱\(C_{V}\)を使えば\(Q = n C_{V} \Delta T\)と書くことができますから、

$$
\Delta U_{01} = n C_{V} \Delta T \tag{2}
$$
となる。ここで、式(1), (2)から、

$$
\Delta U_{01} = \Delta U_{02} = \Delta U_{03} = n C_{V} \Delta T
$$
とかけたことになる。したがって、\(\Delta T\)だけ上がるどのような状態変化に対しても、内部エネルギーの変化は、

$$
\Delta U = n C_{v} \Delta T
$$
とかけたことになる。証明終了です。

まとめると、

全体の流れ

このようになっています。いかがでしたか?

皆さんの理解の一助となれば幸いです。