【高校生・高専生用】単振動の考え方 (2)


さて、前回【高校生・高専生用】単振動の考え方 (1)の続きだ。

前回の簡単なおさらい + \( \alpha \)

前回やったのは、
$$ m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = \ – kx$$
と書かれた方程式を見れば、\( \omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } \)とおいて、
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x (t) & = A \sin{( \omega t + B)} \\
x (t) & = A’ \cos{ ( \omega t + B’)} \\
x (t) & = A” \sin{\omega t} + B” \cos{\omega t}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
のいずれもが一般解になるという話をした。それの妥当性を確かめよう。

\begin{eqnarray}
x (t) & = & A \sin{(\omega t + B)} \\
& = & A \sin{\Bigl( (\omega t + B + \frac{\pi}{2} ) – \frac{\pi}{2} \Bigr) } \\
& = &
& = & \ – A \cos{(\omega t + B + \frac{\pi}{2})} \\
& = & A’ \cos{(\omega t + B’)}
\end{eqnarray}
となる。ただし3式目への変形には三角関数の加法定理を用いており、最後は\( A’ = \ – A, B’ = B + \frac{\pi}{2} \)と定義して定数を置き直した。また、

\begin{eqnarray}
x (t) & = & A \sin{(\omega t + B)} \\
& = & A \sin{\omega t} \cos{B} + A \cos{\omega t} \sin{B} \\
& = & A” \sin{\omega t} + B” \cos{\omega t}
\end{eqnarray}
となる。ただし2式目の変形には同様に三角関数の加法定理を用い、最後は\( A” = A \cos{B}, B” = A \sin{B} \)と定義して置き直した。このことから、定数の不定性があるため、ひとまず一般解は3つの式:

\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x (t) & = A \sin{( \omega t + B)} \\
x (t) & = A’ \cos{ ( \omega t + B’)} \\
x (t) & = A” \sin{\omega t} + B” \cos{\omega t}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

のいずれかを使えば良いことが分かる。では、どれを使えば良いのかという疑問が生じると思うので、それは次回以降の記事も含め示していくことにしよう。

一般解の意味

一般解は単振動の方程式に対するあらゆる解を含んでいるため、定数2つを含んだままでは何か一つの解を表しているわけではない。では、それをどのように決定するのか。それは初期条件を与えることによってである。具体例を通しながら見て行くことにする。

初期条件その1

\( t =0 \)において\( x = x_{0} \), \( v = 0 \)の場合。これは\( x = x_{0} \)において物体をゆっくりと初速を与えずに離した状態に相当する。

今回は\( x(t) = A’ \cos{(\omega t + B’ )} \)を使ってみる。両辺を時間で微分すると、
$$ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \ – A’ \omega \sin{(\omega t + B’)} $$
となる。\( x(t), v(t) \)の式それぞれにおいて\( t = 0 \)とおくと、

\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x(0) & = A’ \cos{B’} = x_{0} \\
v(0) & = \ – A’ \omega \sin{B’} = 0
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
となる。二つ目の式から\( B’ = n \pi \) (ただし\( n \)は任意の整数)と分かるが、実はこれは\( n \)をどの値にしても同じ結果になる(気になる読者は色々な\( n \)の値を入れて以降の計算を繰り返してみると良い)。なので、ここでは\( n = 0\)とおく、つまり、\( B’ = 0\)である。すると一つ目の式から直ちに\( A’ = x_{0} \)が導ける。よってまとめると、

\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
x(t) & = x_{0} \cos{\omega t} \\
v(t) & = -x_{0} \omega \sin{\omega t}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
となる。

読者の宿題

上記の問題を、

(1) \( x(t) = A \sin{(\omega t + B)} \)
(2) \( x(t) = A” \sin{\omega t} + B” \cos{\omega t} \)

を採用して同様に解け。

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